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同态
与 同构
同态
设 U=<X,>
和 V=<Y,*> 是两个同一类型的代数系统，
和 * 同为二元运算，再设存在着一个函数，f:XY，对,X，如果有
f()=f()f()，则称
f:XY
是从代数系统 U 到 V 的同态，有时也说函数 f 运载运算到*。
定理：给定代数系统
U=<X,>
和 V=<Y,*>，并且函数
f:XY
是从 U 到 V 的同态，于是代数系统 =<f(X),*>
是代数系统 V 的子代数，并称
是在 f 作用下的代数系统 U 的同态象点。
定义
给定代数系统 U=<X,>
和 V=<Y,*>，并且函数
f:XY
是从 U 到 V 的同态，于是：
(1)如果 f 是个映满的映射(满射函数)，则称
f 是从 U 到 V 的满同态。
(2)如果 f 是个一对一的映射(单射函数)，则称
f 是从 U 到 V 的单一同态。
(3)如果 f 是个一对一的满的映射(双射函数)，则称
f 是从 U 到 V 的同构映射。
由此可见，同态是同构的特定情况，如果 f 是从 U 到 V 的满同态，则称 U
和 V 同态。记为 UV。
同构
设 U=<X,>
和 V=<Y,*> 是两个同一类型的代数系统，从代数系统
U 到 V，如果存在一个同构映射 f:XY
的话，则称代数系统 U 和 V 是同构的。
定理 ：给定代数系统
U=<X,*,>
和 V=<Y,⊙,>
其中的 * 和
以及 ⊙ 和
都是二元运算。设 f:XY
是从 U 到 V 的满同态，这样 * 和
可被分别运载到运算 ⊙ 和 ，则：
(1)如果运算 * 和
都是可交换的和(或)可结合的，则运算 ⊙ 和
也都是可交换的和(或)可结合的。
(2)对于运算 * 和 ，如果代数系统
U 分别具有幺元
和
则对于运算 ⊙ 和 ，代数系统
V 会分别具有幺元 f(
) 和 f(
)。
(3)对于运算 *，如果每一个元素 xX
都有一个逆元
的话，则对于运算 ⊙，每一个元素 f(x)Y，也都会具有一个逆元
f()，对于运算
，如果每一个元素
xX，都有一个逆元
的话，则对于运算，每一个元素
f(x)Y，也都会具有一个逆元
f()。
(4)如果运算 * 对于运算
是可分配的，则运算 ⊙ 对于运算
也必定是可分配的。
定义
给定两个同一类型的代数系统
U=<X,>
和 V=<Y,>，并且从
U 到 V 存在一个映射 f:XY：
(1)如果 f 是一个同态且有 YX，则称
f 是从 U 到的自同态。
(2)如果 f 是一个同构且有 Y=X，则称 f 是从
U 到的自同构。
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